FUNGSI - RELASI DAN FUNGSI MATEMATIKA SMP KELAS 8

Halo kawan, bagaimana kabar kamu hari ini? Masih semangat belajar matematika ya. Setelah kita kenalan sama relasi dan bagaimana menyatakannya, sekarang saatnya kita beralih ke fungsi. Apa itu fungsi? Apa perbedaannya dengan relasi? Yuk, kita bahas!

1. Relasi dan Syarat Fungsi

Seperti yang kita tahu, relasi adalah “hubungan”. Semua hubungan adalah relasi. Sedangkan, fungsi adalah sebuah “hubungan bersyarat”. Nah looo.. apa itu syaratnya? Yuk, kita perdalam lagi.

2. Domain, Kodomain, dan Range

Di dalam fungsi, terdapat domain, kodomain, dan range:

• Domain: daerah asal, yaitu himpunan awal terjalinnya hubungan.
• Kodomain: daerah hasil, yaitu himpunan akhir tempat terjalinnya hubungan.
• Range: hasil, yaitu himpunan anggota kodomain yang punya pasangan di domain.

Jika kita gambarkan dalam diagram panah, maka contohnya seperti di bawah ini:

Contoh: Himpunan nama anak yang beranggotakan {Andi, Beni, Cika, Dendi, Eri} adalah domain. Sedangkan makanan favorit seperti {ayam, bebek, cumi-cumi, daging, jamur} adalah kodomain. Semua anggota kodomain yang punya pasangan disebut range. 😉

Agar kamu bisa lebih memahami tentang domain, kodomain, dan range aku kasih satu contoh lagi ya.. yuk kita perhatikan diagram panah dibawah ini. A = {0, 2, 3, 5} B = {2, 4, 5, 6, 7} Relasi antara himpunan A ke himpunan B adalah “dua kurangnya dari” dan jika kita buat diagram panahnya, maka akan menjadi seperti ini.

Dari diagram panah diatas, bisa kita simpulkan bahwa: Domain (daerah asal) = himpunan A = {0, 2, 3, 5} Kodomain (daerah hasil) = himpunan B = {2, 4, 5, 6, 7} Range (hasil) = {2, 4, 5, 7}

Dari sini terlihat bahwa tidak semua anggota kodomain (daerah hasil) merupakan range (hasil). Karena 6 merupakan anggota himpunan B (kodomain) namun bukan merupakan range (hasil) karena 6 tidak memiliki pasangan di himpunan A.

Ok, bagaimana? Paham ya untuk domain, kodomain, dan range ya kawan.... sekarang kita lanjut ke fungsi ya.

3. Apa Itu Fungsi?

Fungsi adalah hubungan “spesial” antara dua himpunan, karena setiap anggota domain:

• Tidak boleh jomblo (harus punya pasangan).
• Harus setia (tidak boleh punya pasangan lebih dari satu).

contoh 1 :

Dari diagram panah diatas, bisa kita lihat bahwa semua anggota domain tidak ada yang jomblo, namun mereka tidak setia, karena mempunyai pasangan lebih dari 1. Maka diagram panah diatas adalah relasi namun bukan fungsi.
contoh 2 :

Dari diagram panah diatas, bisa kita lihat bahwa semua anggota domain tidak ada yang jomblo dan mereka setia, karena hanya mempunyai 1 pasangan. Maka diagram panah diatas adalah fungsi.

Contoh 3:
K = {3, 4, 5}
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Relasi antara himpunan K ke himpunan L adalah “dua lebihnya dari” dan jika dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan maka = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)}.

Dari himpunan pasangan berurutan diatas, bisa kita lihat bahwa semua anggota domain hanya mempunyai 1 pasangan dan tidak ada yang jomblo. Jadi bisa kita simpulkan bahwa relasi diatas merupakan fungsi.

Bagaimana...?
Sudah paham...?
Atau masih bingung membedakan yang fungsi dan bukan fungsi? Ok, kalau masih bingung, silahkan perhatikan gambar dibawah ini.

4. Banyaknya Fungsi yang Terbentuk

Dalam sebuah relasi, misalnya dari himpunan A = {1, 2, 3} ke B = {a, b}, akan terbentuk beberapa model fungsi yang berbeda. Bagaimana cara kita mengetahuinya? Kita bisa menggambarkannya dengan diagram panah ataupun bisa langsung menggunakan hitungan. Biar lebih paham, yukk kita gambarkan diagram panah untuk himpunan A dan B diatas.

Fungsi yang dapat terbentuk dari himpunan A ke himpunan B adalah:

Dari gambar diatas, diketahui bahwa ada 8 model fungsi yang dapat terbentuk dari himpunan A ke himpunan B.

Namun jika kamu merasa bingung menentukannya dengan diagram panah, kamu bisa menghitungnya dengan cara:

• Banyaknya anggota himpunan A = 3
• Banyaknya anggota himpunan B = 2
• Banyaknya fungsi yang dapat terbentuk = \( 2^3 = 8 \)

Jadi, jika banyaknya anggota himpunan A = n(A) dan banyaknya anggota himpunan B = n(B) maka:

• Banyaknya fungsi yang dapat terbentuk dari A ke B = \(n(B)^{n(A)}\)
• Banyaknya fungsi yang dapat terbentuk dari B ke A = \(n(A)^{n(B)}\)

5. Korespondensi Satu-Satu

Setelah kawan paham bagaimana membuat diagram panah untuk menyatakan suatu fungsi, dan dapat menghitung banyaknya fungsi yang dapat terbentuk dari 2 himpunan, kini kita akan masuk ke korespondensi satu-satu. Apa itu korespondensi satu-satu?

Korespondensi satu-satu adalah salah satu jenis dari fungsi, dimana domain dan kodomain mempunyai jumlah anggota yang sama dan tidak ada anggota kodomain yang jomblo dan selingkuh. Artinya, domain dan kodomain dituntut untuk memiliki pasangan dan hanya 1 pasangan saja. Untuk lebih jelasnya, yukk kita perhatikan contoh berikut.

Gambar di atas adalah contoh fungsi, namun bukan korespondensi satu-satu. Kenapa? Karena masih ada anggota dari kodomain yang jomblo atau tidak setia. Dari gambar pertama, bisa kita lihat bahwa z tidak memiliki pasangan, sedangkan y memiliki 2 pasangan. Maka fungsi tersebut bukanlah korespondensi satu-satu.

Dari gambar di atas, bisa kita lihat bahwa setiap anggota kodomain tidak ada yang tidak berpasangan dan masing-masing anggotanya hanya memiliki 1 pasangan saja. Oleh karena itu, fungsi di atas adalah korespondensi satu-satu. Paham?

6. Notasi Fungsi

Fungsi biasanya dinotasikan dengan menggunakan huruf kecil seperti \(f\), \(g\), atau \(h\). Fungsi \(f\) yang memetakan himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) dinotasikan dengan \(f : A \rightarrow B\). Fungsi \(f\) yang memetakan \(x\) anggota himpunan \(A\) ke anggota himpunan \(B\) dinotasikan sebagai \(f: x \rightarrow y\) atau \(f: x \rightarrow f(x)\) atau \(f: x \rightarrow y = f(x)\).

\(f: x \rightarrow y\) dibaca \(f\) memetakan \(x\) ke \(y\).
\(f: x \rightarrow f(x)\) dibaca \(f\) memetakan \(x\) ke \(f(x)\).
\(f: x \rightarrow y = f(x)\) dibaca \(f\) memetakan \(x\) ke \(y = f(x)\).

\(y\) merupakan bayangan \(x\) atau nilai fungsi dari \(x\), ditulis \(y = f(x)\).
\(x\) merupakan peta dari \(f(x)\) atau \(x\) merupakan peta dari \(y\).
Himpunan dari nilai \(y = f(x)\) disebut daerah hasil atau range \(f\).

Contoh 1:

Pada pemetaan \(f : x \rightarrow 5 - x\), jika daerah asalnya \(\{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \}\), maka daerah hasilnya adalah...

\(x = \{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \}\)
\(f(x) = 5 - x\)

• \(f(-3) = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8\)
• \(f(-2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7\)
• \(f(-1) = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6\)
• \(f(0) = 5 - 0 = 5\)
• \(f(1) = 5 - 1 = 4\)
• \(f(2) = 5 - 2 = 3\)
• \(f(3) = 5 - 3 = 2\)
• \(f(4) = 5 - 4 = 1\)

Range (hasil) = \(\{8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1\}\)
Maka daerah hasil (kodomain) = \(\{x | 1 < x < 8, x \in B\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\)

Contoh 2:

Diketahui daerah asal \(A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) diadakan pemetaan oleh fungsi \(g(x) = 3x - 2\). Daerah hasil dari pemetaan tersebut adalah....

\(x = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\)
\(g(x) = 3x - 2\)

• \(g(-2) = 3(-2) - 2 = -6 - 2 = -8\)
• \(g(-1) = 3(-1) - 2 = -3 - 2 = -5\)
• \(g(0) = 3(0) - 2 = 0 - 2 = -2\)
• \(g(1) = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1\)
• \(g(2) = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4\)

Range = \(-8, -5, -2, 1, 4\)
Daerah hasil pemetaan = \(\{x | -8 < x < 4, x \in B\} = \{-8, -5, -2, 1, 4\}\)

Contoh 3:

Fungsi \(f\) dinyatakan dengan rumus \(f(x) = px + q\), jika \(f(0) = -2\) dan \(f(2) = 4\), maka nilai \(p\) dan \(q\) berturut-turut adalah …

\(f(x) = px + q\)
\(f(0) = p(0) + q = -2 \Rightarrow 0 + q = -2 \Rightarrow q = -2\)
\(f(2) = p(2) + q = 4 \Rightarrow 2p + q = 4 \Rightarrow 2p + (-2) = 4 \Rightarrow 2p = 4 + 2 \Rightarrow p = \frac{6}{2} = 3\)

Maka, nilai \(p = 3\) dan \(q = -2\).
Dan rumus fungsinya menjadi \(f(x) = 3x - 2\).

Well, itulah yang bisa kita bahas di materi fungsi. Sudah paham ya? Dan sekarang saatnya kawan untuk mencoba. Yukk kerjakan soal latihannya!

SOAL LATIHAN FUNGSI

Soal 1:
Diketahui \(P = \{1, 2\}\) dan \(Q = \{x, y, z\}\). Tentukan banyak fungsi yang mungkin dari:

• Himpunan \(Q\) ke himpunan \(P\)?
• Himpunan \(P\) ke himpunan \(Q\)?

Soal 2:
Manakah dari gambar dibawah ini yang termasuk fungsi (pemetaan)?

Soal 3:
Dari himpunan pasangan berurutan berikut ini:

• \( \{(1, 2), (2, 2), (3, 3)\} \)
• \( \{(1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 2)\} \)
• \( \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)\} \)
• \( \{(1, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 4)\} \)

Yang merupakan pemetaan adalah …

Soal 4:
Diketahui \(A = \{2, 3, 5\}\) dan \(B = \{x, y, z\}\). Banyak fungsi korespondensi satu-satu yang mungkin dari himpunan A ke B adalah ...

Soal 5:
Diketahui rumus fungsi \(f(x) = 6x - 1\). Nilai \(f(3)\) adalah ...

Soal 6:
Diketahui fungsi \(f(x) = 3 - 6x\). Jika \(f(n) = 33\), nilai \(n\) adalah ...

Soal 7:
Diketahui fungsi \(f(x) = 2 - 7x\) dan \(f(k+2) = 16\). Nilai \(k\) adalah ...

Soal 8:
Untuk fungsi \( \{(0,1), (1,-3), (2,-4), (-4,1)\} \). Manakah yang merupakan domain dan range nya?

Kalau kawan membutuhkan bantuan untuk mengetahui lebih banyak tentang relasi, serta berlatih lebih banyak, kawan bisa langsung memesan Kawan Belajar Privat dengan cara klik tombol chat di pojok kanan bawah halaman ini ya.. kamu bisa langsung booking kelas online maupun tatap muka.